Decimali e Binari

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Aggiornato il 24/05/99.

SOMMARIO

• Decimali e Binari
• "Equivalenze" tra multipli decimali e binari
• Bit & bytes

In questa pagina vengono usati dei segni per indicare alcune operazioni matematiche :

Inoltre vengono usate delle scritture a polinomio , ovvero una rappresentazione di un numero come risultato di una sequenza di operazioni aritmetiche , che sono svolte con la prioritá usuale , ovvero prima elevamenti a potenza , poi moltiplicazioni e divisioni , quindi somme e sottrazioni . Per cui , ad es. , la scrittura 25*2^2+5 da come risultato 500 .

Decimali e Binari

Correntemente noi utilizziamo una matematica basata sul 10 e rappresentata dalle 10 cifre arabe . Esistono peró molteplici altre forme di numerazione , basate sull' impiego di cifre diverse (ad es. le cifre romane o cinesi) o su basi differenti da 10 . La tabella seguente riporta alcuni esempi :

Innanzitutto occorre distinguere tra numero e cifra : abitualmente utilizziamo le due parole come sinonimo , ma in effetti hanno diverso significato : numero é il valore , cifra é il segno grafico con cui rappresentiamo il valore . Ad es. 12 , 1011 , 14 , C e XII rappresentano la stessa quantitá in 5 modi simbolici differenti .
Inoltre , ricordando quanto imparato alle elementari , il sistema romano era un sistema non posizionale , ma addizionale , ovvero ogni cifra ha il suo valore indipendentemente dalla posizione : ad es. I ha valore di 1 sia come seconda cifra di VI (V+I = 5+1=6) , che nella scrittura VII (V+I+I=5+1+1=7) ; anche in deduzione , ad es. per IX (X-I=10-1=9) il valore é uguale ; qualunque sia la posizione della cifra nel numero , il suo valore é sempre uguale . Chiaramente questo sistema é macchinoso e poco pratico per grandi numeri (gli stessi romani se ne resero conto ideando simboli a parte per 50 , 100 , 1000 , ecc.) ed improponibile anche solo  per le operazioni piú complesse di una somma , come moltiplicazioni , divisioni , ecc. . Ma nella mentalità europea antica , prima di tutto in quella greca , il numero aveva la funzione di esprimere in modo diverso entità geometriche , rappresentabili piú esattamente per altre vie e nell' uso quotidiano la matematica si riduceva alla somma ( o alla sottrazione) .
Giá nel passato , peró , diverse civiltà hanno utilizzato sistemi differenti , detti posizionali ed alcuni , astraendo i numeri dalla geometria , hanno inventato il concetto dello zero , che a noi arriva dai matematici indiani attraverso gli arabi , definendo le basi del nostro sistema decimale attuale .
Questo modo di contare si basa sul fatto di considerare le cifre componenti un numero non come valori assoluti , ma come indicatori che acquistano un valore specifico in base alla posizione (sistema posizionale) . Per esemplificare , nella scrittura romana III , I al 1 o al secondo o al terzo posto vale sempre 1 , mentre se scriviamo in decimale 111 ,   la prima  cifra 1 a sinistra vale 100 , mentre al secondo vale 10 ed al terso vale 1 ; uno spostamento verso sinistra aumenta il valore di 10 volte e pertanto il sistema si dice decimale . (Al contrario , uno spostamento verso destra riduce di 10 volte .)
I sistemi ottale , esadecimale e binario hanno lo stesso funzionamento di quello decimale , solamente la posizione vale rispettivamente 8 , 16 e 2 , invece che dieci .

Il sistema binario é basato su due sole cifre , ovvero 0 e 1 ed estremamente adatto a rappresentare le situazioni dei circuiti elettrici (conduce/non conduce) o elettronici e per sviluppare un' algebra binaria (di Boole) ideale per la descrizione di flussi logici decisionali . Ovviamente , essendo presenti due sole cifre , il numero delle cifre necessarie per indicare un numero sale vertiginosamente , rendendo poco pratica e poco comprensibile la scrittura di numeri binari estesi .
Per ovviare a questo si sono sviluppati sistemi con basi differenti , ad es. l' ottale , che usa cifre da 0 a 7 e l' esadecimale , che usa 16 cifre , ovvero le 10 arabe piú le lettere da A a F . In questo ultimo caso , dato il maggior numero di cifre , numeri grandi potranno essere rappresentati con un quantitativo limitato di segni grafici . Da osservare che sia il sistema ottale che l'esadecimale sono basati su multipli di 2 (8=2^3 e 16=2^4) e quindi adatti a rappresentare situazioni "binarie" condensate .
I numeri esadecimali sono identificati dalle sigle H oppure hex (ad es. 123H o h45C11 o 21D hex) e sono quelli piú usati nella tecnica del computer , perché adatti a rappresentare i gruppi di linee binarie su cui lavora l' hardware del PC  (byte , word , ecc.)
Per riassumere :

• il sistema decimale é un sistema posizionale in base 10 : ogni unitá vale dieci volte l'unitá dell' ordine immediatamente inferiore . Sono impiegate le dieci cifre arabe (da 1 a 9 piú lo 0)
• il sistema esadecimale é un sistema posizionale in base 16 : ogni unitá vale sedici volte l'unitá dell' ordine immediatamente inferiore . Sono impiegate sedici cifre , ovvero le dieci cifre arabe (da 1 a 9 piú lo 0) piú le lettere da A a F .
• il sistema ottale é un sistema posizionale in base 8 : ogni unitá vale otto volte l'unitá dell' ordine immediatamente inferiore . Sono impiegate otto cifre , ovvero le cifre arabe da 1 a 7 piú lo 0 .
• il sistema binario é un sistema posizionale in base 2 : ogni unitá vale 2 volte l'unitá dell' ordine immediatamente inferiore . Sono impiegate due cifre , ovvero le cifre arabe da 1 e 0 .

La tabella seguente da alcuni esempi di come sono leggibili i numeri nei vari sistemi ; i numeri sono convertiti nei polinomi equivalenti per mostrarne la composizione :

Per quanto riguarda i numeri binari , ecco i polinomi relativi agli esempi della tabella :

• 100000000 binario = 1*2^9+1*2^8+0*2^7+0*2^6+0*2^5+0*2^4+0*2^3 +0*2^2+0*2^1 + 0*2^0
  = 1*256+0*128+0*64+ 0*32+0*16+0*8+0*4+0*2+0*1 = 256 in decimale
• 1111110111 binario = 1*2^9+1*2^8+1*2^7+1*2^6+1*2^5+0*2^4+0*2^3 +1*2^2+1*2^1 +1*2^0
  = 1*512+1*256+1*128+1*64+1*32+1*16+0*8+1*4+1*2+1*1 = 999 in decimale

Ovviamente sono possibili infinite numerazioni usando una qualunque base , ad es. 7 o 99 , ma non hanno particolari applicazioni pratiche .
Per comodità , la tabella seguente riporta le potenze di 2 da 0 a 40 , l' equivalente decimale e la forma in cui comunemente sono utilizzate .

"Equivalenze" tra multipli decimali e binari

I valori espressi con i prefissi di moltiplicazione sono validi , ovviamente , anche per sistemi numerici su basi diverse da dieci , come ad es. i numeri binari , in base 2 . Attenzione , peró : sono state adottate definizioni uguali , ma che conducono ad un risultato leggermente differente , dovuto alla diversa base numerica . Quindi , il valore indicato NON é lo stesso in decimale ed in binario ; non si tratta di una equivalenza intesa come uguaglianza numerica , ma di un modo per indicare con immediatezza la dimensione della quantitá in base binaria , non di uso comune , usando come riferimento quella decimale , di uso piú comune e quindi piú comprensibile . Quindi un megabyte in decimale sará leggermente minore dello stesso in binario ; inoltre , mentre i valori decimali sono multipli tra di loro in rapporti di 10 (ovvero 1M=1000k) , nel caso dei numeri binari il rapporto é in base alle potenze di 2 (quindi 1M non é 1000 volte un k) . Questa situazione puó generare confusione nell' Utente quando , su un PC le indicazioni dei costruttori utilizzano per uno stesso oggetto i moltiplicatori sia per numerazioni decimali che binarie senza precisare quale sia usato . Pertanto é comprensibile perché tra il BIOS , il sistema operativo e un tools di check del sistema ci siano differenze nell' indicazione della stessa quantitá di memoria ; lo stesso fenomeno si rileva nella capacita degli hard disk . Prima di lanciarvi in discussioni , verificate se i conteggi in kbyte o megabyte intesi come binari o come decimali !
La tabella seguente indica l' "equivalenza" dei moltiplicatori ; da osservare che in questo caso si tratta solo di multipli , perché i sottomultipli non avrebbero senso . Inoltre é indicata la differenza percentuale tra il valore binario e quello decimale .

Bit & bytes

Come in tutte le attivitá specialistiche , anche nel settore dei computer viene utilizzata una terminologia "esoterica" per identificare elementi tipici dell 'attivitá . Sicuramente bit e bytes sono diventati di uso comune , anche se non sono gli unici termini impiegati .
L' unitá base del sistema binario applicato ai computers é stata denominata bit e indica un elemento di informazione , rappresentabile con una cifra binaria che puó valere 0 o 1 .
Nell' uso comune risulta pratico trattare gruppi di unitá , associate logicamente in blocchi di 8 ; tipicamente un insieme di otto bit prende il nome di byte (plurale bytes) .
Da dove deriva questo termine ?  Si suppone siano nati nei laboratori di ricerca dell' IBM . In inglese bit indica una piccola quantitá ( a little bit = un pochettino , bit of tool =la punta di un utensile) . Dovendo attribuire un nome al gruppo di 8 bit , un ricercatore pensó di chamarlo con un nome che indicasse un pó piú di un bit , ovvero bite (letteralmente = un morso , un boccone) ; per evitare eventulai errori di scrittura e relativa confusione con il bit , cambió poi la i in y  (possibilitá dinamiche della lingua inglese , che é un bit meno fossilizzata della nostra ...) .
Dove occorre utilizzare numeri piú grandi . La tabella seguente riporta alcuni dei termini piú importanti . I termini inglesi sono difficilmente traducibili in italiano . Viene comunque proposta una traduzione comunque ; si consiglia , peró , vivamente di usare i termini originali , per chiarezza e uniformità e per evitare di scivolare nei nazionalismi che finiscono per rendere difficile lo scambio delle idee , sia tecniche che non . (Ad es. il verbo nibble in inglese significa mordicchiare , sbocconcellare , per cui il nibble é un "morso" del byte ; un buon concetto , ma originato da una lingua con una flessibilità diversa dall' italiano ! Noi pensiamo che sia meglio il byte , non tradotto , piuttosto dell' octet dei francesi e che flip-flop sia molto piú pratico di multivibratore astabile . E , in quanto alla "nazionalizzazione" dei termini , provate a chiedere ad un olandese quale é la capitale del suo paese o traducete in italiano blue jeans ...)

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